Tugas Mata Kuliah: 2016

Rabu, 21 Desember 2016

Integral Tak Tentu

INTEGRAL TAK TENTU

Suatu bentuk operasi pengintegralan suatu fungsi yang menghasilkan fungsi asal

dari sebuah diferensial, yang tidak memiliki batas integralnya. Integral merupakan invers atau kebalikan dari turunan sehingga untuk menemukan rumus integral kita dapat berawal dari turunan

Kaidah-Kaidah

1. Formula Kepangkatan

Rumus : ∫ xⁿ dx = x ⁿ⁺¹ + k , n ≠ -1

^{n + 1}

Contoh : ∫ x²⁴ dx = x²⁴⁺¹ + k = x²⁰ + k = 0,02x²⁰+ k
24 + 1 20

2. Formula Logaritmis
Rumus : ∫ 1 dx = In x + k

Contoh : ∫ 3/x dx = 3 ln x + k

3. Formula Eksponensial

Rumus : ∫ e^xdx = e^x + k

Contoh : ∫e^3xdx = 1/3 ∫e^3xd(3x)

= 1/3 e^3x + k

4. Formula Penjumlahan

Rumus : ∫ { (x) + g(x) } dx = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx

= F(x) + G(x) + k

Contoh : ∫ e2x dx = ½ ∫ e2x d(2x) = ½ ∫e2x + k

5. Formula Perkalian

Rumus : ∫ nf(x) dx = n ∫ f(x) dx , n ≠ 0

Contoh : 5x⁴ dx = 5 x⁴ dx

= 5 ( x⁴⁺¹ /4+1 + C)

= x⁵ + C

Rabu, 12 Oktober 2016

Kaidah – Kaidah Diferensial

Diferensiasi Konstanta

Jika y = k, dimana k adalah konstanta, maka dy/dx = 0 Contoh : y = 5, maka dy/dx = 0
atau lebih mudahnya kalau kita mengganti simbol dy/dx menjadi y’, misalnya:
y = 100 -> y’ = 0
y = ½ -> y’ = 0

Diferensiasi fungsi pangkat

Jika y = xⁿ, dan adalah konstanta maka
dy/dx = nX^n-1
Contoh :
y = x³
y’ = 3 x 3-1 = 3 x²
y = X ^–8
y’ = – 8X^–9

Diferensiasi perkalian konstanta dengan fungsi

Jika y = kv dan v = h (x) maka dy/dx = k dv/dx
Contoh : y = 5 x³, maka dy/dx = 5 ( 3x² ) = 15 x²
Contoh lain:
y = 5X^–8 -> y’ = – 40X^–9
y = 4X⁵ -> y’ = 20X⁴

Diferensiasi pembagian konstanta dengan fungsi

Jika y = k , dimana v = h (x), maka dy/dx = k dy/dx /v²
Contoh : y = 5/x³ , dy/dx = 5(3x²)/(x³)2 = −15x²/x⁶
Contoh lain:
y = 4/X^–8 -> y’ = – 4. – 8 X^–9/(X^–8)² = 32X^–9/X ^–16
y’ = (32 X^–9 ). X¹⁶
y’ = 32X⁷

Diferensiasi penjumlahan / pengurangan fungsi

Jika y = u ± v, dimana u = g (x) dan v = h(x), maka dy/dx = du/dx ± dv/dx
Contoh : y = 4 x² + x³ misalkan u = 4 x² → du/dx = 8x
v = x³ → dv/dx = 3 x² , maka dy/dx = 8x + 3x²
y = – 2X^–1 + 4X + 8 , maka y’ = 2X^–2 + 4

Diferensiasi perkalian fungsi

Jika y = uv, dimana u = g(x) dan v = h(x) maka dy/dx = u dv/dx + v du/dx
Contoh : y = (4x²) (x³)
misalkan u = 4 x² → du/dx = 8 x
v = x³ → dv/dx = 3 x²
maka dy/dx = u dv/dx + v du/dx = (4x²) (3x²) + (x³)(8x)
= 12 x⁴ + 8x⁴ = 20 x⁴

Diferensiasi pembagian fungsi

Jika y = U/V , dimana U = g (x) dan V = h (x) maka y’ = VU’ – UV’/V 2
Contoh : y = U/V -> y = (4x²)/x³
y’ = x³(8x) – (4x²).3x²/(x³)² = 8X⁴ – 12X⁴/x ⁶
= – 4X⁴ .X^–6
= – 4X^–2

Diferensiasi fungsi komposit

Jika y = f(x) sedangkan u = g(x), dengan kata lain y = f {g(x)} maka dy/dx = dy/du * du/dx Contoh :
y = (4x³ + 5)²
misalkan u = 4x³ + 5 → du/dx = 12x²
y = u² → dy/du = 2u
maka dy/dx = dy/du * du/dx = 2u * 12x²
= 2 (4x³ + 5) * 12x²
= 96 x⁵ + 120 x²

Diferensiasi fungsi berpangkat

Jika y = uⁿ , dimana u = g (x) dan n adalah konstanta, maka dy/dx = nu n-1 * du/dx
Contoh : y = (4x³ + 5)²
misalkan u = 4x³ + 5 → du/dx = 12x² dan
y = u²
Maka dy/dx = nu n-1 * du/dx = 2 (4x³ + 5)(2-1)*12x²
= 96 x⁵ + 120 x²

10 .Diferensiasi Fungsi Komposit Logaritmik
y = ^a log U ; U = g(x) maka dy/dx = ^a log e/U.du/dx
Contoh:
y = log (x+5)/(x+7),
maka dalam soal ini U = (x+5)/(x+7)
du/dx = (x+7)(1)-(x+5)(1)/(x+7)^{2 =}2/(x+7)²
Sehingga dy/dx = log e/(x+5)(x+7).2/(x+7)²
dy/dx = 2 log e/(x+5)(x+7)

11. Diferensiasi Fungsi Komposit Logaritmik Berpangkat
y = (^a log U)ⁿdimana U = g(x)
n = konstanta
maka dy/dx = n (^a log U)^n-1. ^a log e/U.du/dx
Contoh:
y = (log 6x²)^3.-> U = 6x²; jadi du/dx = 12x
dy/dx = 3 (log 6x²)². log e/6x²(12x)
= 36x(log 6x²)²log e/6x²
= 6 (log 6x²)² log e/x

12. Diferensiasi Fungsi Komposit Logaritmik Napier
Log. Napier → logaritma yang bilangan pkoknya e
e = 2,71828
→Biasa ditulis dengan ^elog a = 1n a
y = Ln U ; U = g(x) maka dy/dx = 1/U. du/dx
Contoh: y = 1n (5x² + 7) -> U = 5x² + 7
du/dx = 10x
dy/dx = 1/(5x² + 7). 10x = 10x/(5x² + 7)

13. Diferensiasi Fungsi Komposit logaritmik Napier Berpangkat
y = (Ln U)ⁿ; U = g (x) ; n = konstanta
dy/dx = n(Ln U)^n-1.1/U.du/dx
Contoh:
y = (Ln 3x²)⁴-> U = 3x²-> du/dx = 6x
dy/dx = 4(Ln 3x²)³ 1/3x². 6x
dy/dx = 8/x(Ln 3x²)³

14.Diferensiasi Fungsi Komposit Eksponensial
y = a^u; U = g (x) dan a = konstanta ; maka dy/dx = a^u Ln a du/dx
Contoh:
y = 5 ^(x2-2) maka U = x²-2 sehingga du/dx = 2x
dy/dx = 5 ^(x2-2) Ln 5. 2x

15.Diferensiasi Fungsi Kompleks
y = U^v; U = g (x) dan V = h (x)
maka dy/dx = V.U^v-1du/dx + U^vLn U dv/dx
Contoh:
y = 7x ^x5 -> U = 7x -> du/dx = 7
V = x5 -> dv/dx = 5x⁴
dy/dx = x⁵ . 7x ^x5-1 . 7 + 7x ^x5 Ln 7x . 5x⁴
= 49x ^x5+4 + 35x ^x5+4 Ln. 7x
= 35x ^x5+4(7/5 + Ln 7x)

16.Diferensiasi Fungsi Balikan
Jika y = f (x) dan x = g (y) adalah fungsi-fungsi yang berbalikan, maka
dy/dx = 1/dx/dy
Contoh:
x = 10y + 3y⁴
maka dx/dy = 10 + 12y³
seehingga dy/dx = 1/ 10 + 12y³

^{TERIMA KASIH}

Rabu, 21 September 2016

Pengertian Fungsi

FUNGSI RASIONAL

FUNGSI

1. FUNGSI RASIONAL

DEFENISI FUNGSI RASIONAL :

fungsi yang memetakan suatu bilangan real x ke bilangan rasional $\frac{g(x)}{h(x)}$ . dengan $g(x)$ dan $h(x)$ adalah polinom-polinom dan h(x) tidak sama dengan nol.
Contoh fungsi rasional, $f(x)= \frac{2x}{4-x}$

Fungsi rasional ada dua macam. Yaitu FUNGSI RASONAL BULAT dan FUNGSI RASIONAL PECAHAN

A. FUNGSI RASIONAL BULAT

Fungsi rasional bulat ini adalah bagian dari fungsi rasional pecahan yang penyebutnya merupakan suatu fungsi konstan. Sehingga bisa dituliskan sebagai fungsi rasional pecahan. Tetapi kita tetap menyebutnya sebagai fungsi rasional bulat..

Macam-macam fungsi rasional bulat adalah

-Fungsi konstan dengan bentuk $f(x) = k$ , dengan k adalah suatu konstanta

-Fungsi linear atau fungsi pangkat satu, dengan bentuk $f(x) = ax + b$ dengan a dan b bilangan real dan a tidak sama dengan nol

-Fungsi kuadrat atau fungsi pangkat dua, bentuknya $f(x) = ax^2+ bx + c$ dengan a, b dan c bilangan real dan a tidak sama dengan nol.

-Fungsi pangkat. Bentuknya $f(x) = ax^n+ c$ . dengan a tidak sama dengan nol. a dan c anggota bilangan real

B. FUNGSI RASIONAL PECAHAN

Fungsi rasional pecahan biasanya disebut sebagai fungsi pecahan adalah fungsi yang peubahnya (biasanya dalam x) terdapat di dalam penyebut suatu pecahan.

$\frac{g(x)}{h(x)}$

dengan $h(x)$ tidak nol dan bukan merupakan fungsi konstan..

beberapa diantaranya adalah

-pembilang dan penyebutnya linear

-pembilang linear, penyebut kuadrat

-pembilang kuadrat, penyebut linear

-pembilang dan penyebut kuadrat

Dan seterusnya...

Contoh fungsi rasional pecahan yang paling dasar adalah $f(x) = \frac{1}{x}$

2. FUNGSI POLINOM

DEFENISI FUNGSI POLINOM :
Fungsi yang mengandung banyak suku (polinom) dan variabel bebasnya. bentuk umum fungsi polinom : y= a0 + a1x + a2xpangakat 2 + .... + anxpangkat n

contoh polinom adalah : x pangkat 2 - 4x + 7, sedangkan x pangkat 2 - 4/x + 7x3/2 bukan polinom

contoh soal :
Jika fungsi f(x) = 5x²+4x-8, tentukan nilai fungsi tersebut untuk x = 3

Jawab :

f(3) = 5(3)² + 4(3) – 8

= 45 + 12 – 8

= 49

3. FUNGSI LINIER

DEFENISI FUNGSI LINIER :
Fungsi polinom khusus yang pangkat tertinggi dari variabel bebasnya adalah pangakat 1 (satu). fungsi linier disebut garis lurus yang mempunyai kemiringan.bentuk umum dari fungsi linier y= ao+a1x yang dimana

y = variabel bebas

x = variabel terikat

ao = konstanta

a1 = koefisien

contoh fungsi linear :

Gambarlah grafik y = 2x + 8 !

Selanjutnya, tentukan titik potong dengan sumbu X!

Penyelesaian :

Perhatikan grafik y = 2x + 8 pada gambar di bawah!

Seperti yang terlihat pada grafik, nilai y = 0 saat x = -4.

Dengan demikian, titik potong grafik dengan sumbu X adalah (-4,0). Hal ini dapat diperiksa kebenarannya dengan cara mensubtitusikan y = 0 ke dalam persamaan.

0 = 2x + 8

x = -4

4. FUNGSI KUADRAT

DEFENISI FUNGSI KUADRAT :

Fungsi polinom yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah pangkat dua juga sering disebut fungsi berdrajat dua.bentuk umumn persamaan kuadrat adalah : ao + a1x + a2 xpangkat2 yang dimana :

ao = konstanta

a1 dan a2 = koefisien

contoh fungsi kuadrat :

Tentukan sumbu simetri fungsi kuadrat y = 5x² - 20x + 1

Pembahasan:

Sumbu simetri suatu fungsi kuadrat dapat dihitung dengan rumus = -b/2a. dari fungsi kuadrat pada soal diperoleh a=5 dan b=-20

x = -b/2a

x = -(-20) / 2(5)

x= 20/10

x= 2

5. FUNGSI KUBIK

DEFENISI FUNGSI KUBIK :

Fungsi kubik atau fungsi berderajat tiga ialah fungsi yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah pangkat tiga. Setiap fungsi kubik setidak - tidaknya mempunyai sebuah titik belok (inflextion point), yaitu titik peralihan bentuk kurva dari cekung menjadi cembung atau cembung menjadi cekung. Selain titik belok, sebuah fungsi kubik mungkin pula mempunyai satu titik ekstrim (maksimum atau minimum) atau titik dua ekstrim (maksimum atau minimum). Ada tidaknya titik ekstrim dalam suatu fungsi kubik tergantung pada besarnya nilai-nilai b, c, dan d di dalam persamaannya. Dengan demikian terdapat beberapa kemungkinan mengenai bentuk kurva suatu fungsi kubik. Fungsi-fungsi kubik hanya mempunyai titik belok, tanpa titik ekstrim.

Bentuk umum = ax3 + bx2 + cx + d = 0 dengan a ≠ 0

Contoh soal =

Tentukan himpunan penyelesaian dari

x3 – 7x2 + 10x = 0

Jawab =

x3 – 7x2 + 10x = 0

x(x2 – 7x + 10) = 0

x(x – 2)(x – 5) = 0

x = 0 atau x = 2 atau x = 5

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {0, 2, 5}

6. FUNGSI BIKUADRAT

DEFENISI FUNGSI BIKUADRAT :

fungsi yang variabel bebasnya merupakan pangkat dari suatu konstanta bukan nol. bentuk umumnya y = n pangkat x n>0

contoh :

Tentukan himpunan penyelesaian dari : f(x) = 3x³+ 2x² + x - 35

Ditanyakan f(2),dan f(7) !

Jawab:

f(x) = 3x³ + 2x² + x - 35

f(2) = 3(2)³ + 2(2)² + 2 - 35
= 24 + 8 + 2 - 35
= -1

f(x) = 3x³ + 2x² + x - 35

f(7) = 3(7)³ + 2(7)² + 7 - 35

= 441 + 98 + 7 - 35

= 511

7. FUNGSI PANGKAT

DEFENISI FUNGSI PANGKAT :

fungsi yang variabel bebasnya berpangkat sebuah bilangan nyata bukan nol. bentuk umumnya y = x pangkat n n = bilangan nyata bukan nol.

contoh :

Nilai pembuat nol fungsi f diperoleh jika f(x) = 0

x^{2 -}^{4x - 5 = 0}

^{( x - 5 ) ( x + 1 ) = 0}

^{x = 5 v x = -1}

Jadi pembuat nol fungsi f adalah 5 dan -1

Untuk x = 0, maka f(0) = -5
x = -2, maka f(-2) = (-2)² - 4(-2) - 5 = 7.

Terima Kasih

Tugas Himpunan Matematika 1

Rangkuman Himpunan Matematika

Rangkuman tentang himpunan

Pengertian Himpunan dan Anggota Himpunan

1. Pengertian Himpunan

Himpunan adalah kumpulan benda atau objek yang dapat didefinisikan dengan jelas, sehingga dengan tepat dapat diketahui objek yang termasuk himpunan dan yang tidak termasuk dalam himpunan tersebut.

Istilah kelompok, kumpulan, maupun gugus dalam matematika disebut dengan istilah himpunan. Konsep tentang himpunan pertama kali dikemukakan oleh seorang matematikawan berkebangsaan Jerman bernama Georg Cantor (1845-1918) Benda yang termasuk dalam himpunan biasa disebut dengan anggota, elemen, atau unsur.

Contoh Kelompok/kumpulan yang merupakan suatu himpunan

Kelompok hewan berkaki empat.

Yang merupakan anggota, misalnya : Gajah, sapi, kuda, kambing

Yang merupakan bukan anggota, misalnya : ayam, bebek, itik.

Contoh Kelompok/kumpulan yang bukan merupakan suatu himpunan

Kumpulan siswa di kelasmu yang berbadan tinggi.

Pengertian tinggi tidak jelas harus berapa cm batasannya.

Mengapa disebut begitu??? karena batasan contoh di atas tidak jelas. Di dalam Matematika kumpulan tidak dapat disebut himpunan jika batasannya tidak jelas.

2. Notasi Dan Anggota Himpunan

Suatu himpunan biasanya diberi nama atau dilambangkan dengan huruf besar (kapital) A, B, C, ..., Z. Adapun benda atau objek yang termasuk dalam himpunan tersebut ditulis dengan menggunakan pasangan kurung kurawal {...}.

Contoh :

A adalah himpunan bilangan cacah kurang dari 6.

Anggota himpunan bilangan cacah kurang dari 6 adalah 0,1,2,3,4,5

Jadi, A (0,1,2,3,4,5)

Banyak anggota suatu himpunan dinyatakan dengan n. Jika

A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} maka n(A) = banyak anggota himpunan A = 6.

3. Menyatakan suatu Himpunan

Himpunan dapat dinyatakan dalam tiga cara:

a. Dengan kata-kata

Dengan cara menyebutkan semua syarat/sifat keanggotaannya.

Contoh : P adalah himpunan bilangan prima antara 10 dan 40,

ditulis P = {bilangan prima antara 10 dan 40}.

b. Dengan notsi dan pembentuk himpunan

Pada cara ini disebutkan semua syarat/sifat keanggotannya. Namun, anggota himpunan dinyatakan dengan suatu peubah. Peubah yang biasa digunakan adalah x atau y.

Contoh:

P : {bilangan prima antara 10 dan 40}.

Dengan notasi pembentuk himpunan, ditulis

P = {10 < x < 40, x ∈ bilangan prima}.

c. Dengan mendaftar anggota-anggotanya

Dengan cara menyebutkan anggota-anggotanya, menuliskannya dengan menggunakan kurung kurawal {....}, dan anggota-anggotanya dipisahkan dengan tanda koma ( - ).

Contoh :

P = {11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37}

A = {1, 2, 3, 4, 5}

Contoh :

Z adalah himpunan bilangan ganjil antara 20 dan 46.

a. Di nyatakan dengan kata-kata

Z = {bilangan ganjil antara 20 dan 46}

b. di nyatakan dengan notasi pembentuk himpunan

Z = {20 < x < 46, x ∈ bilangan ganjil}

c. di nyatakan dengan mendaftar anggota-anggotanya

Z = {21, 23, 25, ..., 43, 45}.

4. Himpunan berhingga dan Himpunan Tak Terhingga

Himpunan yang memiliki banyak anggota berhingga disebut himpunan berhingga.

Contoh : A = {1, 2, 3, 4, 5}., n(A) = 5

Himpunan yang memiliki banyak anggota tak berhingga disebut himpunan tak terhingga.

Contoh : B = {1, 2, 3, ...}., n(B) = ∞

Terima kasih